\chapter{Persamaan Diferensial Biasa}
Metode numerik yang hendak dibahas pada bab ini adalah tentang penyelesaian persamaan diferensial biasa (PDB, atau dalam istilah \textit{keren} berbahasa Inggris-nya dikenal sebagai \textit{ordinary differential equation/ODE}). Permasalahan PDB yang dibahas di bab ini berkaitan dengan prediksi trajektori suatu sistem jika diberikan kondisi inisial tertentu, atau istilah teknisnya dikenal sebagai \textit{initial value problem (IVP)}. 

\section{Metode Euler}
Deret Taylor dapat dituliskan menjadi:

\begin{equation}
    y(x + h) = y(x) + y'(x)h + \frac{y''(x)}{2!}h^2 + \frac{y'''(x)}{3!}h^3 + \dots
    \label{eq71}
\end{equation}

Dengan mengabaikan turunan lain selain turunan pertama (\textit{first order approximation}), kita mendapatkan apa yang dinamakan sebagai metode Euler untuk menyelesaikan PDB secara numerik:

\begin{equation}
    y(x + h) \approx y(x) + y'(x) h
    \label{eq72}
\end{equation}

Kondisi awal dalam kasus ini merupakan nilai $y$ saat $x=0$. Metode ini juga dikenal sebagai metode titik-garis (\textit{point-slope method}), karena guna memprediksi titik berikutnya, kita menggunakan kemiringan garis $y'(x)$.

Untuk memahami metode ini secara praktis, maka kita akan mengaplikasikannya guna menemukan solusi numerik dari PDB berikut ini pada domain $[0, 2]$:

\begin{equation}
    \frac{dy}{dx} = y' = xy, \quad y(0) = 1
    \label{eq73}
\end{equation}

Persamaan \ref{eq73} merupakan PDB linier orde 1 yang dapat kita selesaikan secara analitik dengan menggunakan teknik pemisahan variabel untuk kemudian diintergrasikan di kedua ruas-nya:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \frac{1}{y} \, dy = x \, dx\\
        \int \frac{1}{y} \, dy = \int x \, dx
        \label{eq74}
    \end{aligned}
\end{equation}

Hasilnya:

\begin{equation}
    \ln|y| = \frac{1}{2}x^2 + C
    \label{eq75}
\end{equation}

Dalam konteks ini \(C\) merupakan konstanta integrasi. Untuk menentukan \(C\), kita menggunakan kondisi awal \(y(0) = 1\):

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \ln|1| = 0\\
        0 = \frac{1}{2}(0)^2 + C\\
        C = 0
    \end{aligned}
    \label{eq76}
\end{equation}

Sehingga, solusi dari PDB ini adalah:

\begin{equation}
    \ln|y| = \frac{1}{2}x^2
    \label{eq77}
\end{equation}

Dengan melakukan eksponensiasi di kedua ruas persamaan, maka akan menjadi:

\begin{equation}
    |y| = e^{\frac{1}{2}x^2}
    \label{eq78}
\end{equation}

Namun, karena \(y(0) = 1\), kita hanya memperhintungkan nilai positif-nya saja, sehingga solusi analitik PDB \ref{eq73} menjadi:

\begin{equation}
    y = e^{\frac{1}{2}x^2}
    \label{eq79}
\end{equation}

Kita dapat menerapkan metode Euler dengan mudah melalui struktur pengulangan tunggal di Python:

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_071.py}
\linenumbers

Tampak jelas terdapat galat yang cukup besar pada setiap langkah dari solusi numerik ini. Galat-nya bervariasi mulai dari 24,18\%  pada $x=1$, hingga 55,59\%:

\nolinenumbers
\begin{verbatim}
    x  		 y (Euler) 	 y (Analitik)
0.000000 	 1.000000 	 1.000000
0.500000 	 1.000000 	 1.133148
1.000000 	 1.250000 	 1.648721
1.500000 	 1.875000 	 3.080217
2.000000 	 3.281250 	 7.389056
\end{verbatim}
\linenumbers

Tampak jika kita menurunkan \textit{step size} menjadi $h=2$, galat pada $x=1$ dan $x=2$ berkurang menjadi 11,49\% dan 32,47\%. Kita dapat menghitung dan memvisualisasikan (Gambar \ref{fig71}) metode Euler pada nilai $h$ berbeda dengan menggunakan kode Python berikut:

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_072.py}
\linenumbers

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{gambar/gambar071.png}
    \caption{Solusi numerik PDB \ref{eq73} dengan metode Euler untuk nilai $h$ yang berbeda.}
    \label{fig71}
\end{figure}

Nampak pada Gambar \ref{fig71}, meskipun kita memperkecil $h$ menjadi 0,1, galat numerik-nya masih tetap cukup besar. Kelemahan metode Euler ini adalah diperlukannya perhitungan \textit{step size} yang cukup kecil, guna menghasilkan aproksimasi numerik yang akurat. Hal ini akan memperlambat \textit{run time} dan memperberat alokasi memori pada komputer, oleh karena banyaknya proses perhitungan \textit{array} yang dilakukan. Oleh karena itu, dalam dunia modern ini, kita jarang menggunakan metode Euler.

\section{Metode Runge-Kutta Orde Dua}
Metode Runge-Kutta (RK) juga didasarkan pada deret Taylor, seperti pada metode Euler. Namun yang membedakan adalah RK mengikutsertakan suku - suku berderajat tinggi, sehingga dapat menghasilkan aproksimasi numerik yang lebih akurat. Metode RK orde dua (RK2) sendiri merupakan metode RK yang mengikutsertakan aproksimasi dari suku turunan kedua di deret Taylor:

\begin{equation}
    y(x + h) = y(x) + y'\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{h}{2}y'(x, y)\right)h
    \label{eq710}
\end{equation}

Guna memudahkan proses komputasi, persamaan \ref{eq79} dapat dibagi menjadi tiga tahapan perhitungan:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_1 &= h y'(x, y) \\
        K_2 &= h y'\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{1}{2}K_1\right) \\
        y(x + h) &= y(x) + K_2
    \end{aligned}
    \label{eq711}
\end{equation}

Berikut adalah implementasinya di Python untuk $h=0,5$ pada contoh kasus persamaan \ref{eq73}:

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_073.py}
\linenumbers

Hasilnya:

\nolinenumbers
\begin{verbatim}
    x  		 y (RK2) 	 y (analitik)
0.000000 	 1.000000 	 1.000000
0.500000 	 1.125000 	 1.133148
1.000000 	 1.599609 	 1.648721
1.500000 	 2.849304 	 3.080217
2.000000 	 6.277373 	 7.389056
\end{verbatim}
\linenumbers

Nampak jika solusi numerik dsari metode RK2 jauh lebih tepat dibandingkan solusi numerik dari metode Euler. Visualisasi perbandingan kedua-nya dapat dilihat pada Gambar \ref{fig72} berikut ini.

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_074.py}
\linenumbers

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{gambar/gambar072.png}
    \caption{Perbandingan solusi numerik PDB \ref{eq73} $h=0,5$: Euler vs. RK2.}
    \label{fig72}
\end{figure}

\section{Metode Runge-Kutta Orde Empat}
Metode RK orde empat (RK4) merupakan metode penyelesaian numerik PDB yang umum digunakan. Hal ini dikarenakan akurasi-nya yang cukup tinggi jika dibandingkan dengan metode Euler dan RK2. Akurasi ini diperoleh karena metode RK4 menyertakan aproksimasi dari suku turunan deret Taylor yang lebih tinggi jika dibandingkan dengan RK2. Berikut adalah persmaan - persamaan yang digunakan untuk menyelesaikan PDB dengan metode RK4:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
K_1 &= h y'(x, y) \\
K_2 &= h y'\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{1}{2}K_1\right) \\
K_3 &= h y'\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{1}{2}K_2\right) \\
K_4 &= h y'\left(x + h, y + K_3\right) \\
y(x + h) &= y(x) + \frac{1}{6}(K_1 + 2K_2 + 2K_3 + K_4)
\end{aligned}
    \label{eq712}
\end{equation}

Berikut ini adalah implementasi-nya di Python untuk menyelesaikan persamaan \ref{eq73} secara numerik menggunakan $h=0,5$:

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_074.py}
\linenumbers

Hasilnya:

\nolinenumbers
\begin{verbatim}
    x  		 y (RK4) 	 y (analitik)
0.000000 	 1.000000 	 1.000000
0.500000 	 1.133138 	 1.133148
1.000000 	 1.648528 	 1.648721
1.500000 	 3.077976 	 3.080217
2.000000 	 7.366803 	 7.389056
\end{verbatim}
\linenumbers

Nampak jika solusi numerik RK4 sangat mendekati solusi analitik-nya. Untuk membandingkannya dengan metode - metode lainnya, kita dapat menjalankan kode Python berikut ini. Visualisasi hasilnya ditampilkan pada Gambar \ref{fig73}.  

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_076.py}
\linenumbers

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{gambar/gambar073.png}
    \caption{Perbandingan solusi numerik PDB \ref{eq73} $h=0,5$: Euler vs. RK2 vs RK4.}
    \label{fig73}
\end{figure}

\section{Persamaan Differensial Orde Tinggi}
Solusi numerik dari  PDB orde tinggi (orde dua, dan seterusnya) dihitung dengan cara pereduksian PDB tersebut menjadi sistem PDB orde satu, sehingga dapat diselesaikan secara simultan dengan menggunakan teknik - teknik yang telah kita diskusikan sebelumnya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas penyelesaian numerik untuk PDB orde dua dengan menggunakan metode RK4, namun teknik - teknik yng digunakan tidaklah jauh berbeda untuk penyelesaian pada orde yang lebih tinggi. Penting untuk dingat, jika jumlah kondisi inisial yang diketahui harus sama dengan orde dari PDB yang hendak diselesaikan. 

Guna mendapatkan aproksimasi numerik dari $y''= f(x, y, y')$, kita harus membagi-nya menjadi dua buah PDB sebagai berikut:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        y' = u\\
        u' = f(x,y,u)
    \end{aligned}
    \label{eq713}
\end{equation}

Kedua persamaan tersebut dapat diaproksimasikan secara bersamaan dengan menggunakan metode RK4. Berikut adalah tahapan - tahapan perhitungannya:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        L_1 &= h u'(x, y, u) \\
K_1 &= h y'(x, y, u)
    \end{aligned}
    \label{eq714}
\end{equation}

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        L_2 &= h u'\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{1}{2}K_1, u + \frac{1}{2}L_1\right) \\
K_2 &= h y'\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{1}{2}K_1, u + \frac{1}{2}L_1\right)
    \end{aligned}
    \label{eq715}
\end{equation}

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        L_3 &= h u'\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{1}{2}K_2, u + \frac{1}{2}L_2\right) \\
K_3 &= h y'\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{1}{2}K_2, u + \frac{1}{2}L_2\right)
    \end{aligned}
    \label{eq716}
\end{equation}

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        L_4 &= h u'\left(x + h, y + K_3, u + L_3\right) \\
K_4 &= h y'\left(x + h, y + K_3, u + L_3\right)
    \end{aligned}
    \label{eq717}
\end{equation}

Hingga akhirnya didapatkan:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        u(x + h) &= u(x) + \frac{1}{6}(L_1 + 2L_2 + 2L_3 + L_4) \\
y(x + h) &= y(x) + \frac{1}{6}(K_1 + 2K_2 + 2K_3 + K_4)
    \end{aligned}
    \label{eq718}
\end{equation}

Guna memahami-nya secara praktis, kita akan mencoba untuk menyelesaikan PDB berikut pada domain $[\pi, 2\pi]$ secara numerik:

\begin{equation}
y'' + y = 4x + 10\sin x, \quad y(\pi) = 0, \quad y'(\pi) = 2
    \label{eq719}
\end{equation}

Namun, sebelum menyelesaikannya secara numerik, kita akan mencoba mendapatkan solusi analitik-nya terlebih dahulu. Persamaan \ref{eq719} adalah persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan. Bagian homogen dari persamaan ini adalah \(y'' + y = 0\), dengan persamaan karakteristik \(r^2 + 1 = 0\). Akar-akarnya adalah \(r = \pm i\), sehingga fungsi komplementernya adalah:

\begin{equation}
    y_{CF}(x) = A\cos (x) + B\sin (x)
    \label{eq720}
\end{equation}

Langkah kedua adalah menemukan solusi partikularnya dalam bentuk \(y_{PI}(x) = Cx + D\sin (x) + E\cos (x)\). Kemudian, cari \(y_{PI}'\) dan \(y_{PI}''\) dan substitusikan ke dalam PDB tersebut:

\begin{equation}
    y_{PI}'' + y_{PI} = 4x + 10\sin (x)
    \label{eq721}
\end{equation}

Melalui penurunan dan substitusi, kita akan menemukan bahwa \(C = 2\), \(D = -5\), dan \(E = 4\), sehingga:

\begin{equation}
    y_{PI}(x) = 2x - 5\sin (x) + 4\cos (x)
    \label{eq722}
\end{equation}

Kini, kita dapat menerapkan kondisi awal \(y(\pi) = 0\) dan \(y'(\pi) = 2\):

\begin{equation}
    y(\pi) = A\cos(\pi) + B\sin(\pi) + 2\pi - 5\sin(\pi) + 4\cos(\pi) = 0
    \label{eq723}
\end{equation}

Dengan menggunakan fakta bahwa \(\sin(\pi) = 0\) dan \(\cos(\pi) = -1\), kita dapat menyederhanakannya menjadi:

\begin{equation}
    A - 2\pi + 4 = 0 \implies A = 2\pi - 4
    \label{eq724}
\end{equation}

Kemudian, dilakukan substitusi sebagai berikut:

\begin{equation}
    y'(\pi) = -A\sin(\pi) + B\cos(\pi) + 2 - 5\cos(\pi) - 4\sin(\pi) = 2
    \label{eq725}
\end{equation}

Dengan menggunakan fakta bahwa \(\sin(\pi) = 0\) dan \(\cos(\pi) = -1\), kita dapat menyederhanakan menjadi:

\begin{equation}
A + B + 7 = 2 \implies A + B = -5
    \label{eq726}
\end{equation}

Sehingga solusi analitik-nya menjadi:

\begin{equation}
    y(x) = y_{CF}(x) + y_{PI}(x) = y = 9\pi \cos (x) + 7 \sin (x) + 4x - 5x \cos (x)
    \label{eq727}
\end{equation}

Untuk menyelesaikan persamaan \ref{eq719} secara numerik, PDB orde dua ini harus dibentuk menjadi:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        y' &= u \\
u' &= 4x + 10\sin x - y
    \end{aligned}
    \label{eq728}
\end{equation}

Kemudian diselesaikan secara bersamaan dengan metode RK4. Berikut adalah implementasinya di Python:

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_077.py}
\linenumbers

Visualisasi solusi-nya dapat kita lihat pada Gambar \ref{fig74}.


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{gambar/gambar074.png}
    \caption{Solusi numerik dan analitik dari persamaan \ref{eq719}}
    \label{fig74}
\end{figure}

\section{Solusi Persamaan Differensial Menggunakan SciPy}
Pemecah (\textit{solver}) PDB utama dari modul \verb|scipy.integrate| adalah \verb|odeint()|. Pemecah ini dapat digunakan, baik dalam penyelesaian PDB, maupun sistem PDB. Pada bagian ini kita akan mendemonstrasikan penggunaannya untuk menyelesaikan permasalahan pada persamaan \ref{eq713} dan \ref{eq719}. Berikut implementasi kode-nya dalam Python:

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_078.py}
\linenumbers

Khusus untuk solusi PDB orde dua pada variabel \verb|sol|, kolom pertama merepresentasikan nilai $y$, dan kolom kedua $y'$. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang fungsi \verb|odeint()|, kalian dapat berkunjung ke situs: \url{https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.odeint.html}.

\section{Sistem Lorenz 63}
Bayangkanlah parsel fluida 2D yang dipanaskan dari bawah, dan mengalami pendinginan di bagian atas-nya. Hal ini kemudian mendorong terjadinya fenomena konveksi seperti yang terjadi pada lapisan troposfer bumi. Konveksi ini pada sejatinya dapat dimodelkan melalui sistem persamaan diferensial parsial (PDP), seperti yang direpresentasikan pada model prediksi cuaca numerik. Namun, pada tahun 1963, Ed Lorenz bersama tim pengembang piranti lunak-nya di Massachusetts Institute of Technology (MIT) mencoba mereduksi karakteristik utama dari proses ini ke dalam sistem PDB nonlinier orde pertama:

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \dot{x} = \frac{dx}{dt} = \sigma(y-x)\\
        \dot{y} = \frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y \\
        \dot{z} = \frac{dz}{dt} = xy - \beta z
    \end{aligned}
    \label{eq729}
\end{equation}

Variabel $x$ merepresentasikan laju pembalikan konvektif (\textit{convective overturing rate}). Variabel $y$ dan $z$, masing - masing merepresentasikan temperatur horizontal dan vertikal. Variabel - variabel ini di dalam sistem dinamik dikenal sebagai variabel keadaan (\textit{state variables}) yang merpresentasikan kondisi matematis dari sistem ini. Sistem PDB ini juga mempunyai tiga buah parameter. Parameter $\sigma$ merupakan bilangan Prandtl, yang menggambarkan rasio antara difusivitas momentum (viskositas kinematik) terhadap difustivitas termal. Jika $\sigma << 1$, maka aliran akan didominasi oleh difusivitas termal, semntara jika $\sigma >> 1$, maka difusivitas momentum akan lebih dominan. Parameter $\rho$  merupakan bilangan Rayleigh yang menunjukkan perbandingan antara skala waktu difusi termal dengan konveksi termal. Jika $\rho$ terlalu kecil, maka panas akan dengan cepat terdisipasi melalui proses difusi, dan fluida akan tetap dalam kondisi stasioner. Jika $\rho$ meningkat dan melewati titik kritis tertentu, maka sistem konveksi akan berjalan, namun jika $\rho$ terlalu besar, maka yang timbul justru sistem mengalami turbulensi. Terakhir, paramter $\beta$ sendiri terkait dengan ukuran fisis dari sistem tersebut.

Sistem Lorenz ini merupakan salah satu contoh klasik dari sistem dinamik nonlinier yang paling banyak dijadikan objek untuk studi. Nonlinearitas muncul dari suku perkalian $xy$ dan $\beta z$ dalam PDB \ref{eq29}. Selain itu, sistem ini juga menunjukkan perilaku khaotik untuk beberapa nilai parameter tertentu, yang berarti perubahan kecil pada kondisi awal dapat menghasilkan perilaku jangka panjang yang sangat berbeda. Fenomena ini sering kali dinamakan sebagai efek kupu - kupu (\textit{butterfly effect}).

Sistem Lorenz sering digunakan sebagai prototipe untuk mempelajari khaos dan khaos deterministik dalam sistem nonlinier. Sistem ini memiliki atraktor yang dikenal sebagai atraktor Lorenz, yang memiliki bentuk seperti sayap kupu-kupu yang khas. Sifat khaotik sistem ini membuat-nya menarik untuk digunakan dalam mengeksplorasi konsep - konsep terkait teori khaos dan sensitivitas terhadap kondisi awal dalam sistem deterministik.

Berikut merupakan contoh penyelesaian sistem ini menggunakan Python untuk dua kondisi awal yang sedikit berbeda, yakni $\mathbf{u_1} = [1, 1, 1]$ dan $\mathbf{u_2} = [1, 1,01, 1]$, dengan menggunakan parameter - parameter klasik dari sistem Lorenz 63 yang mempunyai fitur khaotik, yakni $\sigma = 10$, $\rho = 28$, $\beta = 8/3$. Untuk jangka waktu simulasinya antara $t=0$ hingga $t=25$ sebanyak 1000 \textit{time steps}.

\nolinenumbers
\lstinputlisting[language=Python]{./kode/contoh_079.py}
\linenumbers

Nampak jika secara pada awalnya, trajektori variabel - variabel keadaan terhadap waktu dari kedua sistem ini beriringan, namun ketika melewati saatuan waktu ke-15, terjadi perbedaan yang cukup besar, yang tidak dapat kita bayangkan dapat ditimbulkan hanya dari perturbasi kecil dari kondisi awal (Gambar \ref{fig75} dan \ref{fig76}). Selain itu, nampak jika deret waktu dari sistem ini pun bukan deret waktu yang bersifat siklikal dan mudah diprediksi. Jika mengingat bahwa hal ini diproduksi dari sistem deterministik yang relatif sederhana, tentu sangat mengejutkan bagi kita. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{gambar/gambar075.png}
    \caption{Solusi numerik dari variabel - variabel keadaan dari sistem Lorenz 63 untuk kedua kondisi awal.}
    \label{fig75}
\end{figure}


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{gambar/gambar076.png}
    \caption{Perbedaan variabel - variabel keadaan dari sistem Lorenz 63 dari kedua kondisi awal.}
    \label{fig76}
\end{figure}

Diagram ruang-fasa (\textit{phase-space diagram}) 3D dari variabel - variabel kondisi diperlihatkan pada Gambar \ref{fig77}. Diagram ini memperlihatkan kondisi teoretik dari sistem ini pada waktu tertentu. Nampak jika kedua sistem ini awalnya mempunyai \textit{state} yang sama, hingga pada suatu waktu, kondisi-nya mulai terpisah. Namun, secara umum, struktur ruang-fasa-nya masihlah sama, yakni dengan berputar mengitari dua titik ekuilibria tanpa pernah memotong trajektori yang sama. Dua titik ini lah yang kerap dinamakan sebagai atraktor. 


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{gambar/gambar077.png}
    \caption{Diagram ruang-fasa dari sistem Lorenz 63 untuk dua kondisi awal yang sedikit berbeda.}
    \label{fig77}
\end{figure}

Sistem Lorenz 63 ini mengingatkan kita, bahwa dari sistem yang sangat sederhana saja, kita dapat mengeksplorasi kenyataan yang sangat kompleks. Prediksi dari sistem deterministik ini sangat sensitif terhadap kondisi awal, yang tidak memungkinkan kita untuk melakukan prediksi melebihi beberapa waktu tertentu, tanpa mengetahui dengan sangat detail tentang kondisi awal. Tentu, di dalam kenyataannya proses konvektif di troposfer jauh lebih rumit dari sekedar PDB di dalam sistem ini. Maka, dapat dibayangkan mengapa produk prediksi cuaca numerik (hasil komputasi dari persamaan Navier-Stokes) menjadi tidak berguna sesudah melewati beberapa hari, jika tidak diasimilasikan dengan data observasi. 

Diperlukan analisis kuantitatif yang lebih jauh tentang sistem Lorenz 63 ini, seperti mengkuantifikasikan prediktabilitas dan bifurkasi dari sistem dengan menggunakan eksponen Lyapunov, kemungkinan prediktabilitas-nya dengan menggunakan metode - metode statistik, dll. Namun, karena kapasitas penyusun bukanlah sebagai matematikawan terapan, dipersilakan kepada pembaca untuk mencari tahu sendiri secara lebih dalam tentang topik yang nampak-nya tidak ada habis - habisnya untuk dieksplorasi ini.

